Зоопарк чудовищ или Знакомство со специальными функциями

О.Киселёв

Зоопарк чудовищ

или Знакомство со специальными функциями

Весь курс лекций в формате:
PDF (875 kB)

Предисловие

	Курс лекций посвящен знакомству со специфическим разделом математики - специальными функциями. Метод исследования свойств спецфункций основан на анализе решений дифференциальных уравнений.

I Гамма-функция

	Интегральное представление гамма-функции получено как решение разностного уравнения. Исследовано поведение гамма-функции в полюсах. Выведена формула для произведения гамма-функций.

II Гипергеометрическая функция

	Гипергеометрическая функция - обобщение геометрической прогрессии - обладает рядом замечательных свойств, благодаря которым она привлекала внимание математиков в течение по крайней мере двух веков. Изучение этой функции привело Гаусса к исследованию вопроса сходимости рядов, Римана - к задаче об аналитическом продолжении и к изучению дифференциальных уравнений с особыми точками.

III Регулярные особые точки дифференциального уравнения

	Классифицированы особые точки дифференциальных уравнений второго порядка.

IV Функция Эйри

	Приведено специальное решение уравнения Эйри -- функция Эйри. Показано, что функция Эйри целая. Получена асимптотика функции Эйри при больших значениях аргумента.

V Функции параболического цилиндра

	Приведено уравнение параболического цилиндра. Построен ряд Тейлора для решений уравнения параболического цилиндра. Выведено интегральное представление для функций параболического цилиндра. Выведены формулы связи функций параболического цилиндра с разными значениями параметра.

VI Интеграл Френеля и метод стационарной фазы

	Приведены формулы для косинус- и синус-интегралов Френеля. Показано, что интегралы Френеля являются решениями дифференциальных уравнений первого порядка. Получены формулы для интегралов Френеля при больших значениях аргумента. Показано, что интегралы Френеля лежат в основе формул метода стационарной фазы.

VII Функция Бесселя

	Построен сходящийся ряд функции Бесселя. Выведено разностное уравнение для функций Бесселя разных порядков. Получено интегральное представление и асимптотика функции Бесселя в бесконечно удаленной точке.

VIII Явление Стокса

	Строго говоря, явление Стокса имеет отношение к асимптотическим рядам для специальных функций, а не к самим специальным функциям. Однако, часто функции определяются с помощью рядов и, в частности, рядов асимптотических. В такой ситуации обсуждение явления Стокса выглядит вполне уместным. В этой лекции функции Ганкеля вводятся через их асимптотики в комплексной плоскости и обсуждается асимптотическое поведение этих функции в окрестности точки ветвления бесконечного порядка.

IX Функция Вейерштрасса

	Здесь P-функция Вейерштрасса введена как решение уравнения первого порядка на римановой поверхности рода 1. Показано, что эта функция двоякопериодическая. Приводится терема Лиувилля для эллиптической функции.

X Эллиптические функции Якоби

	Исследована функция синус амплитуды комплексного аргумента. Выписаны приближенные представления этой функции при значениях параметра близких к нулю и единице.

XI Тэта-функции

	Тэта-функции - удобный аппарат для вычислений из-за простоты аналитических свойств и быстрой сходимости рядов, их определяющих. Поэтому часто вычисления, связанные с эллиптическими функциями, проводятся именно в терминах тэта-функций.

XII Интегрируемые волчки

	В этой лекции приводятся примеры задач из механики, которые решаются с использованием аппарата эллиптических и гиперэллиптических функций. Эти примеры взяты из теории движений твердого тела вокруг неподвижной точки. Это хорошо известные волчки Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. По существу эти примеры, если не считать случай Гесса-Аппельрота (вырождение волчка Ковалевской), исчерпывают интегрируемые движения твердого тела.

XIII Уравнение Хилла и теория Флоке

	В этой лекции исследуются свойства решений уравнения второго порядка с периодическим коэффициентом. Изложена теория Флоке и построен пример решения уравнения со ступенчатой периодической функцией.

XIV Функции Матьё

	Приведены примеры из математической физики и механики, в которых возникает уравнение Матьё. Дано определение функций Матьё и указан алгоритм их построения.

XV Уравнение Ламе

	Приводится вид уравнения Ламе и кратко объясняется происхождение и общий вид функций Ламе. Основное внимание уделено решению уравнения Ламе в специальном случае в терминах эллиптического синуса Якоби.

Вопросы к экзамену

DesignIR