1. Уравнение в частных производных. Определение. Примеры: свободное движение и уравнение Хопфа; геометрическая оптика и уравнение эйконала; закон сохранения для системы обыкновенных уравнений.

2. Характеристики уравнения в частных производных. Вывод уравнений для характеристик. Семейство характеристик. Интегральные поверхности. Свойства характеристик и интегральных поверхностей. Примеры.

3. Классификация уравнений в частных производных: линейные, полулинейные, квазилинейные, нелинейные уравнения. Существенные отличия в поведении характеристик для линейных, полулинейных, квазилинейных и нелинейных уравнений. Примеры.

4. Решение задачи Коши для линейных и квазилинейных уравнений методом характеристик. Теорема о существовании и единственности решения. Примеры и контрпримеры к теореме.

5. Решение задачи Коши для нелинейного уравнения методом характеристик. Характеристическая и нехарактеристическая кривая. Влияние начальных условий. Теорема о существовании и единственности решения. Примеры и контрпримеры к теореме.

6. Гамильтоновы системы обыкновенных уравнений. Функция Гамильтона, уравнение Гамильтона-Якоби и его характеристики. Примеры.

7. Вывод уравнения бегущей волны. Линейные волны. Нелинейные волны. Примеры. Опрокидывание нелинейных волн. Каустики.

8. Системы уравнений в частных производных. Приведение системы уравнений в частных производных к нормальной форме. Динамические переменные. Примеры.

9. Теорема Коши-Ковалевской и доказательство.

10. Характеристики системы уравнений. Примеры систем уравнений с различным числом характеристик.

11. Классификация уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Канонические формы уравнений второго порядка.

12. Классификация уравнений второго порядка в общем случае. Ультрагиперболические уравнения, уравнения, параболические в широком смысле. Уравнения смешанного типа. Примеры.

13. Классификация нелинейных уравнений второго порядка в точке. Примеры.

14. Постановки задач для уравнений второго порядка. Задача Коши для гиперболического уравнения. Аналитические решения и теорема Коши-Ковалевской.

15. Теорема Коши-Ковалевской для параболического уравнения и пример Ковалевской. Корректно поставленные задачи по Адамару.

16. Теорема Коши-Ковалевской для эллиптического уравнения и пример Адамара. Корректно поставленные задачи по Адамару.

17. Вывод волнового уравнения для неограниченной струны. Вывод краевой задачи для струны, закрепленной на концах. Различные типы краевых задач.

18. Формула Даламбера. Решение однородного уравнения для неограничной струны. Характеристики и распространение волн. Область определенности и область влияния.

19. Общая формула для решения неоднородного уравнения неограниченной струны.

20. Формула Пуассона для трехмерного волнового уравнения. Специальное решение.

21. Решение задачи Коши для волнового уравнения в трехмерном пространстве.

22. Решение задачи Коши для волнового уравнения в двумерном пространстве. Метод спуска. Принцип Гюйгенса.

23. Теорема о единственности решения волнового уравнения в двумерном пространстве. Доказательство.

24. Постановки задач для уравнения Лапласа. Гармонические функции. Принцип максимума.

25. Фундаментальное решение двумерного уравнения Лапласа. Интегральное представление решения с помощью формулы Грина.

26. Задача Дирихле для круглой пластины. Формула Пуассона.

27. Фундаментальное решение двумерного уравнения Лапласа. Вывод формулы Грина.

28. Свойства решений уравнения Лапласа. Теорема о среднем.Принцип максимума.

29. Принцип максимума. Теорема о единственности решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа.

30. Вывод уравнения теплопроводности в задаче о распространении тепла в стержне. Краевые условия.

31. Принцип максимума для решений уравнения теплопроводности . Теорема о единственности решения смешанной задачи для уравнения теплопроводности. Доказательство.

Задачи по уравнениям в частных производных первого порядка - А.Ф.Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям, задачи 1167-1216.

Задачи по классификации уравнений второго порядка - В.С.Владимиров, Сборник задач по уравнениям математической физики, задачи 2.1-2.3.

Задача Коши для гиперболического уравнения второго порядка - В.С.Владимиров, Сборник задач по уравнениям математической физики, задачи 12.7-12.19, 12.36,

Краевые задачи для эллиптического уравнения второго порядка - В.С.Владимиров, Сборник задач по уравнениям математической физики, задачи 16.1-16.7.

Задачи Коши для уравнения теплопроводности - В.С.Владимиров, Сборник задач по уравнениям математической физики, задачи 13.5

Смешанные задачи - В.С.Владимиров, Сборник задач по уравнениям математической физики, задачи 20.6-20.16, 20.40-20.46.