Вопросы к экзамену по обыкновенным дифференциальным уранениям

1. Геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Изоклины.

2. Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения. Пример неединственности решения задачи Коши.

3. Интегрирование уравнений с разделяющимися переменными.

4. Интегрирование однородного уравнения.

5. Интегрирование уравнений, приводящихся к однородным.

6. Уравнения в полных дифференциалах. Формула для решения.

7. Интегрирующий множитель. Случаи. когда интегрирующий множитель вычисляется в явном виде.

8. Интегрирование линейных неоднородных уравнений первого порядка. Метод вариации постоянной.

9. Интегрирование уравнения Бернулли.

10. Интегрирование уравнения Лагранжа.

11. Дифференциальное уравнения для огибающей семейства кривых.

12. Особые решения дифференциального уравнения первого порядка. Пример: парабола безопасности.

13. Интегрирование уравнения Клеро.

14. Уравнение ортогональных траекторий для семейства кривых.

15. Теорема о существовании решения дифференциального уравнения n-го порядка.

16. Уравнения, допускающие понижение порядка.

17. Линейные уравнения второго порядка. Линейно независимые решения. Определитель Вронского.

18. Уравнение для определителя Вронского для решений уравнений второго порядка. Теорема о линейно независимых решениях.

19. Общее решение уравнения второго порядка. Построение решения уравнения второго порядка, линейно независимого к известному.

20. Неоднородное уравнение второго порядка. Решение методом вариации постоянных.

21. Однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Построение общего решения в случае простых корней характеристического уравнения.

22. Решение уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае кратного корня характеристического уравнения.

23. Представление решений уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения.

24. Неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Решение в случае, когда показатель экспоненты в правой части не совпадает с корнем характеристического уравнения.

25. Неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Решение в случае, когда показатель экспоненты в правой части совпадает с корнем характеристического уравнения.

26. Уравнение колебаний свободные колебания.

27. Вынужденные колебания. периодические и непериодические решения. Резонанс.

28. Вынужденные колебания с трением. Амплитуда вынужденных колебаний.

29. Краевые задачи для уравнений второго порядка. Задачи на собственные значения.

30. Краевые задачи для неоднородных уравнений второго порядка. Условия разрешимости.

31. Однородные уравнения n-го порядка. Линейно независмые решения. Определитель Вронского. Общее решение.

32. Неоднородное уравнение n-го порядка. Метод вариации постоянных. Общее решение.

33. Однородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Система линейно независимых решений.

34. Неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Частное решение.

35. Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме. приведение системы уравнений к одному уравнению n-го порядка.

36. Линейные однородные системы уравнений. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. Общее решение.

37. Системы неоднородных уравнений метод вариации постоянных. Общее решение.

38. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Случай простых корней характеристического уравнения. Общее решение.

39. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Случай кратных корней характеристического уравнения.

40. Системы автономных уравнений. Свойства решений. Фазовые траектории.

41. Положения равновесия. устойчивость положений равновесия логистического уравнения.

42. Фазовые траектории уравнения математического маятника.

43. Классификация особых точек систем уравнений второго порядка.