Задачки для курсовых работ

Введение

Цель введения — пояснить, что собрано на этой странице, для кого и зачем.

Пожалуйста — формальный, ясный и короткий ответ.

В официальном учебном плане для студентов специальностей "Прикладная математика" и "Прикладная математика и информатика" предусмотрена курсовая работа по дифференциальным уравнениям. На странице, которую Вы читаете:

  • сформулированы темы заданий для курсовых работ по курсу "Дифференциальные уравнения";
  • задания предназначены для студентов второго курса специальностей "Прикладная математика" и "Прикладная математика и информатика" Уфимского государственного авиационного технического университета;
  • предлагаемые задания носят исследовательский характер и помогают студенту развивать навыки самообразования и самостоятельного исследования;

 
Общие принципы неформально

 

Классический нелинейный осциллятор

Физики — забавный народ (на всякий случай, это комплимент!), они пишут, что для более — менее адекватного моделирования атома водорода необходимо пользоваться уравнением Шредингера, а сами используют модель атома диэлектрика в виде положительно заряженной жидкости, в которой плавает отрицательно заряженный электрон. После некоторых упрощений, они говорят, что вообще-то атом — это шарик на пружинке, ну жесткость пружинки может, например, нелинейно зависеть от растяжения. Влияние электромагнитной волны — света в такой модели — внешняя осциллирующая сила. Вот такая примитивная система, оказывается, имеет богатый набор состояний. Эти состояния моделируют чудеса нелинейной оптики, и те, которые уже используются инженерами и те, которым применение еще не придумано.

 
Фазировка внешним полем.
Предлагается с помощью внешнего светового поля управлять фазой нелинейных колебаний.
Начнем с того, что фаза — интеграл по времени от частоты колебаний. Хорошо известно, что частота колебаний нелинейного осциллятора зависит от амплитуды. Амплитудой колебаний можно управлять с помощью внешней силы — световой волны. Выглядит эта цепочка логично, однако написать уравнения и на уровне решений и формул показать, как управлять фазой нелинейного осциллятора — задачка достойная не только для студента, но и, скажем, для профессора, ;-) Кроме шуток!

 
Гистерезис и оптическая бистабильность.
В курсе обыкновенных дифференциальных уравнений, когда изучается резонанс в уравнении второго порядка, обычно рисуется так называемая резонансная кривая — зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты. Для нелинейного осциллятора такая зависимость тоже может быть исследована, Оказывается, она неоднозначна. Следовательно, возможен гистерезис — различный отклик системы на одно и тоже воздействие.
Нарисовать такую кривую и исследовать нелинейный резонанс в осцилляторе с учетом потерь на излучение — задача весьма забавная и нетривиальная, во всяком случае, на первый взгляд.

 
Генерация кратных гармоник.
В общем механизм появления световых гармоник с частотами, кратными частоте накачки ясен.
Однако, как физики умудряются перекачать существенную долю энергии светового пучка в высшие (вторую и третью) гармоники?

 
Вынужденное комбинационное рассеяние.
Ну что тут сказать... За открытие комбинационного рассеяния была присуждена Нобелевская премия. Математическая модель вынужденного комбинационного рассеяния — это два связанных нелинейных осциллятора, один моделирует колебания электрона, другой — атомного ядра.
Исследованию систем подобно сорта просто напичканы современные журналы, публикующие статьи по нелинейным колебаниям.

 
Нелинейное световое эхо.
Что ж, кажется ещё одна Нобелевская премия и опять нелинейный осциллятор — нет, ансамбль осцилляторов — по-простому — набор осцилляторов. Явление состоит в следующем: в среду, заполненную нелинейными осцилляторами, а по-простому, в диэлектрик запускается световая волна. Через некоторое время — еще одна. А затем, опять через промежуток времени, среда формирует отклик.
По математике изучение набора пусть и невзаимодействующих осцилляторов — весьма нетривиальная и открытая задача.

 
Самофокусировка.
В световом пучке интенсивность зависит от расстояния до центра пучка. Фаза пучка зависит от интенсивности из-за механизма нелинейной фазировки. В результате волновой фронт искривляется и, в некоторых случаях, происходит пробой оптической среды, в Физической энциклопедии написано, что возможен даже пробой вакуума!

 

Задачки из небесной механики

 
Зоны Кирквуда и кольца Сатурна.
В поясе астероидов существуют области свободные от астероидов, или очень слабо заселенные по отношению к соседним, густо населенным малыми телами областями. Такие области называются зонами Кирквуда. В общем известно, что зоны Кирквуда как-то связаны с резонансными неустойчивыми орбитами. Однако, точных аналитических расчетов, строго показывающих это, не существует. Похожая ситуация и с делениями колец Сатурна. Делениями астрономы называют зоны колец, свободные от частиц. Известно, (см. здесь) что деления связаны с влиянием ближайших крупных спутников Сатурна.
Хорошо бы развить более-менее удовлетворительную теорию существования делений колец.

 
Треугольник планета Нептун-Леверье-Адамс.
Планета Уран была первой планетой солнечной системы, открытой с помощью телескопа. Однако, ее движение не подчиняется в точности предсказываемому законом притяжения Ньютона. Были разные предположения о причинах столь странного поведения планеты Уран, но в конце концов возобладала гипотеза о воздействии на движение Урана неизвестного доселе небесного тела — новой планеты. Хорошо известна история о том, как французский математик Леверье вычислил орбиту этой гипотетической планеты и предсказал область на небосводе, в которой ее можно наблюдать. Предсказание Леверье было проверено. Оно оказалось верным и привело к открытию планеты Нептун. Англичане утверждают, что похожие вычисления были сделаны их соотечественником Адамсом, однако, английские астрономы не сумели обнаружить планету. В общем это настоящий детектив. Подробности можно найти здесь: http://www.sciam.ru/2005/3/astronomy.shtml Оказывается, ни Леверье, ни Адамс не смогли в своих вычислениях указать правильную орбиту планеты и, якобы предсказание Леверье и положение планеты в этом месте — случайность. Ну, не знаю, уж больно всё красиво.
Предлагается по известной орбите Урана, следом за классиками, произвести вычисления, позволяющие предсказать орбиту Нептуна. Забавно, что как следует из ссылки, подробных вычислений так никто и не видел.

 
Обоснование общей теории относительности и смещение перигелия Меркурия.
Когда Эйнштейн опубликовал общую теорию относительности, встал вопрос о ее подтверждении. Не всякий примет утверждение об искривлении пространства из-за присутствия пусть и тяжелого, но все же обычного массивного тела. Теория теорией, но где доказательства! Было известно, что движение Меркурия отклоняется от предсказаний теории тяготения Ньютона на 43+-3 секунды, кажется, в столетие. Существовали различные предположения о влиянии Солнца. Эйнштейн взялся обосновать этот сдвиг за счет эффекта общей теории относительности. И действительно, в своей статье, воспользовавшись теорией возмущений, показал, что именно такой сдвиг должен появиться.
Предлагается следом за Эйнштейном проделать это упражнение и подтвердить выводы общей теории относительности!

 
Трение планет боками и резонансы.
Процессы диссипации энергии в небесной механике с приливным трением.
В результате длительной эволюции трение должно приводить к уменьшению расстояний между Солнцем и планетами. В действительности, этого не наблюдается. Существует гипотеза, что противостоят сближению планет с Солнцем взаимные резонансы планет. Действительно, в Солнечной системе наблюдается много резонансных соотношений между орбитами планет.
Задача: на примере простейшего уравнения нелинейного осциллятора с трением и внешним периодическим возмущением показать, что резонанс может препятствовать уменьшению амплитуды колебаний из-за трения.

 
Скорость вращения Земли и высыхание Арала.
Экологическая катастрофа, проходящая на наших глазах с Аральским морем поражает воображение — за несколько десятков лет ВЫСОХЛО МОРЕ. Существуют разные попытки объяснения этого климатического явления. Одна из них есть в журнале «Знание-сила» — точную ссылку можно найти на сайте http://www.arbuz.uz Оказывается скорость вращения Земли меняется в зависимости от влажности атмосферы. Изменение скорости вращения ведет к изменению кориолисовой силы, действующей на текущую воду в реках Сырдарья и Амударья. А так как наклон в сторону Арала мал, а реки текут в широтном направлении, то при изменении скорости вращения они вполне могут менять направление своего течения. Это не шутка! «Знание-сила» научно-популярный журнал и гипотезы вполне могут быть и ненаучными, но почему бы не проверить?
Предлагается вслед за автором статьи проделать соответствующие вычисления колебаний скорости вращения Земли и их влияния на Аральское море.